PROBLEMAS ECUACIONES DE PRIMER GRADO
DESPEJE DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO
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DESPEJE DE INCÓGNITAS EN UNA ECUACIÓN
Para hacer despejes e incógnitas en una ecuación, debemos recordar lo siguiente: 1. Si en una igualdad un número esta sumando puede pasar al otro lado, del signo igual,restando. 2. Si en una igualdad un número esta restando puede pasar al otro lado, del signo igual,sumando. 3. Si en una igualdad un número esta multiplicando puede pasar al otro lado, del signo igual,dividiendo. 4. Si en una igualdad un número esta dividiendo puede pasar al otro lado, del signo igual,multiplicando. Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número desconocido, llamado incógnita o variable, y que se cumple para determinado valor numérico de dicha incógnita. Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades algebraicas con incógnitas cuyo exponente es 1 (elevadas a uno, que no se escribe). Como procedimiento general para resolver ecuaciones enteras de primer grado se deben seguir los siguientes pasos: 1. Se reducen los términos semejantes, cuando es posible. 2. Se hace la transposición de términos (aplicando inverso aditivo o multiplicativo), los que contengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de ella en el derecho. 3. Se reducen términos semejantes, hasta donde es posible. 4. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita (inverso multiplicativo), y se simplifica. Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita Para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, aplicamos el criterio del operador inverso (inverso aditivo o inverso multiplicativo), como veremos en el siguiente ejemplo: Resolver la ecuación 2x – 3 = 53 Debemos tener las letras a un lado y los números al otro lado de la igualdad (=), entonces para llevar el –3 al otro lado de la igualdad, le aplicamos el inverso aditivo (el inverso aditivo de –3 es +3, porque la operación inversa de la resta es la suma). Entonces hacemos: 2x – 3 + 3 = 53 + 3 En el primer miembro –3 se elimina con +3 y tendremos: 2x = 53 + 3 2x = 56 Ahora tenemos el número 2 que está multiplicando a la variable o incógnita x, entonces lo pasaremos al otro lado de la igualdad dividiendo. Para hacerlo, aplicamos el inverso multiplicativo de 2 (que es ½) a ambos lados de la ecuación: 2x • ½ = 56 • ½ Simplificamos y tendremos ahora: x = 56 / 2 x = 28 Entonces el valor de la incógnita o variable "x" es 28. |
EJERCICIOS RESUELTOS PARA PRACTICAR
TALLER DE PRACTICA.
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PROBLEMAS CON ECUACIONES DE UNA INCOGNITA
EJERCICIOS DE PROBLEMAS CON ECUACIONES DE PRIMER GRADO
- * Halla un número tal que su triplo menos 5 sea igual a su doble más 3.
- * ¿Cuál es el número cuya tercera parte más 12 da 26?
- * La suma de las macetas de dos casas vecinas es 365. Una tiene 43 más que la otra. ¿Cuantas macetas tiene la casa que más tiene?
- * Tres números enteros consecutivos suman 69. Calcula la mitad del mayor.
- * Curro leyó en un día la cuarta parte de las páginas de un libro, y al día siguiente, una tercera parte. Si aún le quedan 75 páginas por leer, ¿cuántas páginas tiene el libro?
- * La suma de un número y el siguiente de su doble es 67. Calcula dicho número.
- * El triple de un número menos 11 es igual a 43. Averigua de qué número se trata.
- * Curro se gasta la mitad de su dinero en la entrada del cine y una cuarta parte en golosinas. Si le quedan 3 €, ¿cuánto dinero tenía?
* Si al dinero que tengo le sumamos su mitad y su cuarta parte, y le añadimos un euro, tendré entonces 64 €. ¿Cuánto dinero tengo ahora?
AYUDA DE COMO RESOLVERLOS
Problemas de Ecuaciones de Primer Grado con una Incógnita
Son problemas que se resuelven “planteando” y resolviendo una ecuación de 1º grado con una
incógnita.
Es aconsejable seguir los siguientes pasos en el problema:
• Comprender el enunciado: Se debe leer el problema las veces que sean necesarias para
distinguir los datos conocidos y el dato desconocido que se quiere encontrar, es decir, la
incógnita “x”. Escribimos los datos del problema. Pensamos a que dato le vamos a
llamar “x” y los demás datos los ponemos en función de “x”.
• Plantear la ecuación: Con los datos y traduciendo el lenguaje ordinario a lenguaje
algebraico planteamos (escribimos) la ecuación.
• Resolver la ecuación: Mediante el método de resolución de ecuaciones, obtenemos la
solución.
• Comprobar la solución: En los datos sustituimos “x” por el valor obtenido y
comprobamos que se cumplen las condiciones del problema.
Ejemplos:
1. Si al doble de un número le sumamos 15 obtenemos 51. ¿Qué número es?
Datos: (Al número le vamos a llamar “x”)
Número : x
Planteamos la ecuación: (Traducimos a lenguaje algebraico)
2 x + 15 = 51
Resolvemos la ecuación: (Método de resolución de ecuaciones)
2 x = 51 – 15
2 x = 36
x = 36
2
Comprobamos el resultado: (Comprobamos si 18 cumple las condiciones del problema)
2 · 18 + 15 = 51
36 + 15 = 51
51 = 51 Solución: El número es 18
x = 18
2. En una ferretería se venden tornillos en cajas de tres tamaños: pequeña, mediana y
grande. La caja grande contiene el doble que la mediana y la mediana 25 tornillos más
que la pequeña. He comprado una caja de cada tamaño y en total hay 375 tornillos,
¿cuántos tornillos hay en cada caja?
Datos: (Hay que llamarle “x” a una de las tres cajas. Como la grande nos la dan en
función de la mediana y la mediana en función de la pequeña, llamaremos “x” a la caja
pequeña)
Caja pequeña : x
Caja mediana: x + 25
Caja grande: 2 ( x + 25 )
Planteamos la ecuación: (Traducimos a lenguaje algebraico: la suma de los tornillos de
las tres cajas es igual a 375)
x + ( x + 25 ) + 2 ( x + 25 ) = 375
Resolvemos la ecuación: (Método de resolución de ecuaciones)
x + x + 25 + 2x + 50 = 375
x + x + 2x = 375 – 25 – 50
4x = 300
x = 300
Comprobamos el resultado: (Sustituimos x por 75 en los datos y sumamos)
Solución
Caja pequeña : x = 75 …............................................................ 75
Caja mediana: x + 25 = 75 + 25 = 100 …................................. 100
Caja grande: 2 ( x + 25 ) = 2 ( 75 + 25 ) = 2 · 100 = 200 …........ 200 + 375
Son problemas que se resuelven “planteando” y resolviendo una ecuación de 1º grado con una
incógnita.
Es aconsejable seguir los siguientes pasos en el problema:
• Comprender el enunciado: Se debe leer el problema las veces que sean necesarias para
distinguir los datos conocidos y el dato desconocido que se quiere encontrar, es decir, la
incógnita “x”. Escribimos los datos del problema. Pensamos a que dato le vamos a
llamar “x” y los demás datos los ponemos en función de “x”.
• Plantear la ecuación: Con los datos y traduciendo el lenguaje ordinario a lenguaje
algebraico planteamos (escribimos) la ecuación.
• Resolver la ecuación: Mediante el método de resolución de ecuaciones, obtenemos la
solución.
• Comprobar la solución: En los datos sustituimos “x” por el valor obtenido y
comprobamos que se cumplen las condiciones del problema.
Ejemplos:
1. Si al doble de un número le sumamos 15 obtenemos 51. ¿Qué número es?
Datos: (Al número le vamos a llamar “x”)
Número : x
Planteamos la ecuación: (Traducimos a lenguaje algebraico)
2 x + 15 = 51
Resolvemos la ecuación: (Método de resolución de ecuaciones)
2 x = 51 – 15
2 x = 36
x = 36
2
Comprobamos el resultado: (Comprobamos si 18 cumple las condiciones del problema)
2 · 18 + 15 = 51
36 + 15 = 51
51 = 51 Solución: El número es 18
x = 18
2. En una ferretería se venden tornillos en cajas de tres tamaños: pequeña, mediana y
grande. La caja grande contiene el doble que la mediana y la mediana 25 tornillos más
que la pequeña. He comprado una caja de cada tamaño y en total hay 375 tornillos,
¿cuántos tornillos hay en cada caja?
Datos: (Hay que llamarle “x” a una de las tres cajas. Como la grande nos la dan en
función de la mediana y la mediana en función de la pequeña, llamaremos “x” a la caja
pequeña)
Caja pequeña : x
Caja mediana: x + 25
Caja grande: 2 ( x + 25 )
Planteamos la ecuación: (Traducimos a lenguaje algebraico: la suma de los tornillos de
las tres cajas es igual a 375)
x + ( x + 25 ) + 2 ( x + 25 ) = 375
Resolvemos la ecuación: (Método de resolución de ecuaciones)
x + x + 25 + 2x + 50 = 375
x + x + 2x = 375 – 25 – 50
4x = 300
x = 300
Comprobamos el resultado: (Sustituimos x por 75 en los datos y sumamos)
Solución
Caja pequeña : x = 75 …............................................................ 75
Caja mediana: x + 25 = 75 + 25 = 100 …................................. 100
Caja grande: 2 ( x + 25 ) = 2 ( 75 + 25 ) = 2 · 100 = 200 …........ 200 + 375